Lógicas Matemáticas

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COSAMALOAPAN

MATERIA: MATEMÁTICAS DISCRETAS

TEMA: LÓGICA MATEMÁTICA

CONTENIDO TEMÁTICO: 

1.      LÓGICA MATEMÁTICA

2.      RAZONAMIENTO LÓGICO

3.      PROPOSICIÓN SIMPLE

4.      VALOR DE VERDAD

5.      PROPOSICIÓN COMPUESTA

6.      OPERADORES LÓGICOS

6.1.   CONJUNCIÓN

6.2.   DISYUNCIÓN

6.3.   DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

6.4.   NEGACIÓN

6.5.   CONJUNCIÓN NEGATIVA

6.6.   CONDICIONAL

6.7.   BICONDICIONAL

7.      TABLAS DE VERDAD.- ORDEN DE LOS OPERADORES

7.1.   TAUTOLOGIA

7.2.   CONTRADICCIÓN

7.3.   EQUIVALENCIA LÓGICA

7.4.   IMPLICACIÓN LÓGICA

8.      LEYES DE LAS PROPOSICIONES

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo tiene como objetivo describirla lógica matemática y su importancia, dar a conocer cada uno de sus subtemas, los cuales alguno utilizamos en la vida cotidiana. También se mostraran ejemplos para que quede mejor explicado el tema.

1.     LÓGICA MATEMÁTICA

Ahora bien para comenzar con el tema y entender que es la lógica matemática, primero veremos que es la lógica; la cual nos dice que la lógica estudia la forma del razonamiento mediante sus métodos y principios con la finalidad de determinar si un argumento es válido o no. Y es por eso que se puede afirmar que la Lógica Matemática surge a partir de aplicar a la Lógica todos los métodos de la Matemática.

Un ejemplo claro donde se utiliza la Lógica y teniendo los conocimientos previos es cuando se puede afirmar que: 2+2= ¿?  Donde decimos que 2+2=4 utilizando la lógica rápidamente podemos obtener el resultado de dicha operación

2.     RAZONAMIENTO LÓGICO

El razonamiento lógico se considera si al determinar algo sin importar el grado de complejidad, es decir, que sea complicado o fácil, este se determine si es verdadero o falso.

Ejemplos:

ü  Cuatro más dos es igual a seis. Verdadero

ü  Tres menos dos es igual a cuatro. Falso

El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

3.     PROPOSICIÓN SIMPLE

Son las oraciones que solo son o bien verdaderas o bien falsas pero no pueden ser ambas al mismo tiempo. Son aquellas proposiciones que se no pueden dividir.

4. VALOR DE VERDAD 

Al observar si una proposición se puede determinar si dicha proposición es verdadera o falsa, a este resultado se le denomina como Valor de Verdad. Y a estas proposiciones se pueden denotar con las letras p,q,r...

Ejemplos: 

• Vivir es un adjetivo.

      Esta proposición tiene como valor de verdad. F.

• Vivir No es un adjetivo.

     Esta proposición tiene como valor de verdad. V.

4. PROPOSICIÓN COMPUESTA

Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Al igual que en las proposiciones simples, las proposiciones compuestas también tienen su notación las cuales son las letras P,Q,R...

 Ejemplo: 

• Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío. 
• Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
• Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
• Sí el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.  

6.      OPERADORES LÓGICOS

Una vez obtenida dos proporciones simples, se forman una proporción compuesta uniéndolos con operadores lógicos, los cuales se describen a continuación:

6.1.   CONJUNCIÓN 

La conjunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier caso, es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas, en caso contrario es falsa. Así:

 

Tabla de Verdad de Conjunción 

Ejemplo: 

a).- Quito está en el Ecuador y en América del Sur 

    p: Quito está en Ecuador.                   V

   q:  Quito está en América del Sur.      V

Ubicación de Quito

Si p y q son verdaderas entonces se cumple con la regla de la conjunción por lo tanto la proporción es Verdadera 

b).- 4-2=2 y 6+1=5

     p: 4-2=2  V

    q: 6+1=5  F

En el caso del inciso b que p si es verdadera pero p es falsa de acuerdo con lo establecido la proporción es Falsa. 

6.2.   DISYUNCIÓN

Es un operador que ejecuta sobre dos valores de verdad, devolviendo el valor de verdad Verdadero cuando una de las proporciones es verdadera o cuando ambas lo son y falso cuando ambas son falsas. p ˅ q (se lee: p o q). si ambas proporciones son falsas, la proporción compuesta es falsa. 

Tabla de Verdad de Disyunción

Ejemplo: 

  p: El número 2 es par 

 q:  La suma de 2+2 es 4

Entonces p ˅ q: El número 2 es par o la suma de 2+2 es 4 

El gato blanco o el gato negro 

a).- El hierro es gas o el oxigeno es metal. 

      El hierro es gas.          F

      El oxigeno es metal.   F

El valor de verdad es F

6.3.   DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Consiste en que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. Sea p y q proporciones la disyunción exclusiva entre p y q. Se lee: "o p o q". 

Tabla de Verdad de Disyunción Negativa

Ejemplo:

 O Saturno es un Planeta O cero mas uno es cero

 O Napoleón fue emperador O Montalvo fue militar 

 O El Sodio es un elemento químico O el Oxigeno es metal.

Entonces: p: El sodio es un elemento químico  V

                q: El oxigeno es un metal                   F

Por lo tanto el Valor de Verdades                      V

6.4.   NEGACIÓN

Es un operador que se ejecuta sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. Nos dice que sea p una proposición, la negación de p se representa por ¬p. Se lee: "ni p". Solo hay dos posibilidades y no cuatro como en los casos anteriores. Se puede negar usando "no", "es falso", "no es cierto que", "no es verdad que". 

Tabla de Verdad de Negación

Ejemplo: Sea la proporción 4+3 =7

a). ¬p 4+3 ≠ 7

b). ¬p Es falso que 4+3=7

c). ¬p No es verdad que 4+3=7

d). ¬p No es cierto que 4+3=7

Como sabemos el valor de verdad de p es verdadero y el de los ejemplos (a,b,c,d) son falsos porque niega lo que p afirma

6.5.   CONJUNCIÓN NEGATIVA

Es la unión de dos o más proporciones por NO. Sean p y q proposiciones, la conjunción negativa entre p y q se representa por p ↓ q a lo cual se lee: ni y ni. si las dos proporciones son falsas dichas proposición compuesta es verdadera, en caso contrario es falsa. 

Ejemplo:

Ella no tiene ni diamantes ni perlas. 

6.6.   CONDICIONAL

La condición de dos proporciones p y q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por: p → q. Se lee: "p implica q", "si p entonces q", "p solamente si q", "p solo sí q". El condicional de dos proposiciones es falso si es verdadera, es falsa porque una verdad no puede implicar una falsedad:  

Tabla de Verdad de Condicional

Ejemplo:

Si Einstein desarrollo la teoría de la relatividad entonces el hierro es magnético.

a). R: 5=5 implica que 2+3=5

        : 5=5        V

        : 2+3=5    V

     R es verdadera.

b). R: 2=2 entonces 1=0

       :  2=2  V

       :  1=0  F 

R es falsa. 

6.7.   BICONDICIONAL

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, e representa por p ↔ q. Se lee: p si y solo si q, p si y solamente si q. El bicondicional de dos proposiciones es verdadero si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas.

Ejemplo: 

El metano es gas Sí y sólo si la ballena es mamífero

Bolívar fue argentino sí y solamente sí Sucre fue presidente.

Como se nota en los ejemplos mencionados son proposiciones matemáticas correctas, aunque, en el lenguaje común suene algo raro. 

 7.      TABLAS DE VERDAD

Es una forma clara de determinar el valor de verdad de una proposición compuesta en función de las variables y de los operadores. es un dispositivo para demostrar ciertas propiedades lógicas y semánticas de enunciados del lenguaje del cálculo proposicional.

•  Si son tautológicas, contradictorias o contingentes. 
• Cuales son sus condiciones de verdad
• Cuales son sus condiciones lógicas y de que otras proposiciones se siguen lógicamente 

Tabla de Verdad

ORDEN DE LOS OPERADORES

Son el Orden que debe de desarrollarse la tabla de verdad teniendo las siguientes reglas:

• Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis
• Si una proposición compuesta está unida por comas (,) se debe desarrollar primero lo que está antes y después de la "coma" antes de unir las proposiciones simples con el operador principal.
• Si no hay paréntesis se debe desarrollar la tabla de verdad en orden jerárquico de las operaciones. En el caso de conjunción y disyunción que tienen la misma jerarquía, se debe establecer cual va a predominar. 
• Si no hay "comas" ni paréntesis se debe especificar el operador que va a predominar, con lo cual no estaría en vigencia con la regla 3.

7.1.   TAUTOLOGÍA

Una proposición compuesta es una tautología si es verdad para cualquier proposición, es decir, la ultima columna de su tabla de verdad es V. Son identidades que siempre serán verdaderas. 

Ejemplo: Demostrar que (p ^ q)→(p ˅ q)

7.2.   CONTRADICCIÓN

Una proposición compuesta es una contradicción si tiene solo F en la ultima columna de su tabla de verdad. 

Ejemplo: Demostrar sí (p ^¬p) (se lee: p y no p)

Una composición compuesta es una contingencia si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales.  

OBSERVACIONES:

       1.-La negación de una tautología es una contradicción 

       2.-La negación de una contradicción es una tautología

7.3.   EQUIVALENCIA LÓGICA

Dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si P↔Q es una tautología. Dos formulas son equivalentes si tiene los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad. 

7.4.   IMPLICACIÓN LÓGICA

Sean P y Q proposiciones, P implica lógicamente a Q sí P↔Q es una tautología.

Ejemplo: Demostrar que p ^ q ↔ p ˅ q 

Solución: 

Se desarrolla la tabla de verdad de p ^ q <=> p ˅ q

8.      LEYES DE LAS PROPOSICIONES

Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes, se les considera como leyes y se les aplica para simplificar proposiciones grandes. 

Leyes de Ídem Potencia  

p ^ q <=> P

p ˅ q<=> P

Leyes de Complemento 

¬ F <=> V                            P^¬P<=> F

                       ¬¬P<=> P 

¬ V <=> F                           P˅¬P<=> V

Leyes asociativas

(P ˅ Q)˅ R <=> P ˅ (P ˅ Q)

(P ˅ Q)˅ R <=> P ˅ (P ˅ Q)

Leyes Distributivas

P^ (Q ˅ R) <=> (P ^ Q) ˅ (P ^ R)

P˅ (Q ^ R) <=> (P ˅ Q) ^ (P ˅ R)

Leyes Comparativas

P ˅ Q <=> Q ˅ P 

P ^ Q <=> Q ^ P

Leyes de Identidad 

P ^ F <=> Q ˅ P       P ˅ F <=> F

P ^ V <=> Q ^ P       P ˅ V <=> V

Leyes de Morgan 

¬ (P ^ Q) <=> ¬ P ˅ ¬ Q

¬ (P ˅ Q) <=> ¬ P ^ ¬ Q

CONCLUSIÓN

La idea de este trabajo fue dar a conocer cada uno de los temas de las lógicas matemáticas, las proposiciones y cada uno de los operadores lógicos. También conocer la tautología, contradicción, equivalencia lógica, entre otros.